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前言

在計算機和智慧型手機普及的今天，算盤這個古老的計算工具似乎已被塵封在歷史的角落。許多人對它的印象停留在加減法，甚至認為它無法應對更複雜的運算。然而，事實果真如此嗎？算盤是否只能進行簡單的四則運算？本文將深入探討一個核心問題：「算盤可以算除法嗎？」答案不僅是肯定的，其背後更蘊含著古人精妙的數學智慧與計算技巧。本文將為您揭開算盤除法的神祕面紗，詳細介紹其運算原理與方法，帶您領略這項即將失傳的古老技藝。

算盤除法的核心原理：與直式除法的驚人相似性

算盤除法的本質，其實與我們在學校學習的「直式除法」並無二致。兩者都遵循著「估商」（估計商數）、「減積」（減去商數與除數的乘積）和「求餘」（得出餘數）的核心步驟。多位數的除法，也只是不斷重複這個過程而已。

使用算盤進行除法時，需要先將被除數放置在算盤上。計算者透過觀察被除數與除數的位數關係，估算出第一位商，然後從被除數中減去這個商與除數的乘積，剩下的部分即為餘數。接著，將被除數的下一位數與餘數結合，繼續進行下一輪的估商與減積，直到計算完成。

這個過程聽起來抽象，但實際上，它就是將直式除法的演算過程，從紙筆轉移到了算盤的檔位與算珠之上。熟練的珠算使用者，其計算速度甚至能媲美電子計算機。

算盤除法的兩大流派：歸除法與商除法

珠算除法主要分為兩大主流方法：「歸除法」和「商除法」。這兩種方法都能準確得出答案，但其所依賴的口訣和操作邏輯略有不同。

歸除法：倚靠《九歸訣》的快速估商

歸除法是一種需要背誦專門口訣《九歸訣》的計算方式。這個口訣是古代數學家總結出的一套估商法則，旨在加速「一位數除法」的計算過程。

《九歸訣》詳解

《九歸訣》是歸除法的靈魂，它將除數為1到9時，被除數首位數的各種可能性都編成了口訣，讓計算者能迅速判斷商和餘數。以下是《九歸訣》的原文及其解釋：

除數

口訣原文

釋義

一

一歸如一進，見一進成十

任何數除以一，商數直接進位。

二

二一添作五，逢二進成十

10除以2得5；20除以2得10。

三

三一三十一，三二六十二，逢三進成十

10除以3得3餘1；20除以3得6餘2；30除以3得10。

四

四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十

10除以4得2餘2；20除以4得5；30除以4得7餘2；40除以4得10。

五

五歸添一倍，逢五進成十

任何數除以5，商數為該數的兩倍；50除以5得10。

六

六一下加四，六二三十二，六三添作五…逢六進成十

10除以6得1餘4；20除以6得3餘2；30除以6得5…

七

七一下加三，七二下加六，七三四十二…逢七進成十

10除以7得1餘3；20除以7得2餘6；30除以7得4餘2…

八

八一下加二，八二下加四，八三下加六…逢八進成十

10除以8得1餘2；20除以8得2餘4；30除以8得3餘6…

九

九歸隨身下，逢九進成十

任何數除以9，商數不變，餘數為自己；90除以9得10。

口訣應用：

口訣中的「三一三十一」，意指「10除以3，商為3，餘數為1」。這個餘數1會加入到被除數的下一位繼續計算。而「下加X」則表示商數與被除數首位相同，直接在餘數上加上X。例如「七二下加六」，代表20除以7，商仍為2，但餘數為6。

在處理多位數除法時，歸除法會先用除數的首位，配合《九歸訣》進行估商和初步減積，再處理除數後續位數的減積，這個過程稱為「歸除」。

商除法：僅需《九九乘法表》的直觀計算法

相較於需要額外背誦《九歸訣》的歸除法，商除法對於現代學習者來說更為直觀，因爲它只需要熟練運用《九九乘法表》。商除法的運算流程更貼近於我們所學的直式除法，完全依賴估商和減積這兩個步驟。

商除法的計算步驟：

置數定位：將被除數撥入算盤，並根據位數規則定出商數的首位檔次。

估商：觀察被除數和除數，直接使用九九乘法表來估計商數。例如，被除數為52，除數為45，則估商為1。

減積：將估出的商數與除數的每一位相乘，然後從被除數中逐一減去其乘積。這個過程需要非常細心，特別是在處理借位時。

重複流程：完成一輪減積後，將剩餘的被除數與下一位數結合，繼續進行下一輪的估商和減積，直到完成所有計算。

商除法的優劣勢

優勢：無需背誦額外的《九歸訣》，只需掌握乘法和減法即可，學習門檻相對較低。其計算邏輯與現代數學教育中的直式除法高度一致，易於理解。

劣勢：在估商環節，特別是當除數位數較多時，對心算能力和判斷力的要求較高。如果估商出現錯誤（估大或估小），需要進行「補商」或「退商」，過程相對繁瑣。

算盤除法實戰演練

為了更清晰地展示算盤除法的運作，我們以 9487 ÷ 69 為例：

定位與首次估商：將9487置於算盤。觀察94與69，商顯然為1。

首次減積：從94中減去69（即1 × 69），餘數為25。此時算盤上的數變為2587，而商數區記下1。

二次估商：觀察餘數258與除數69。可以估算商為3（因為69 × 3 = 207）。

二次減積：從258中減去207，餘數為51。此時算盤上的數變為517，商數區記下3。

三次估商：觀察餘數517與除數69。這裡有個小技巧，可將69看作接近70。用51除以7，估商約為7（因為7 × 7 = 49）。

三次減積：計算69 × 7 = 483。從517中減去483，餘數為34。

得出結果：此時餘數34小於除數69，計算結束。

最終結果為：9487 ÷ 69 = 137 … 34。整個過程在算盤上的演變，就如同直式除法在紙上的演算一樣，清晰而有條理。

常見問題

Q1：學習算盤除法需要什麼基礎？

A1：最基本的需要是熟練掌握算盤的加法和減法操作。對於商除法，必須對《九九乘法表》瞭若指掌；若想學習歸除法，則需要額外記憶《九歸訣》。

Q2：歸除法和商除法哪一種比較好？

A2：兩者沒有絕對的優劣之分。歸除法因為有口訣輔助，對於一位數除法或估商環節速度更快，但學習成本較高。商除法則更為直觀，與現代數學思維接軌，但對心算能力要求更高。現代珠算教學多以商除法為主。

Q3：算盤除法在現代還有學習的價值嗎？

A3：儘管在日常生活中已被電子計算機取代，學習算盤除法仍有多重價值。它可以極大地鍛鍊心算能力、專注力和邏輯思維能力。對於兒童來說，透過實體操作算珠來理解抽象的除法概念，是一種非常有效的數學啟蒙方式。

Q4：算盤也能進行開平方等更複雜的運算嗎？

A4：是的，除了四則運算，傳統珠算中還包含了開平方、開立方等更高級的運算方法，例如「增乘開方法」。這些方法的原理同樣是將複雜的數學公式轉化為一系列在算盤上可執行的步驟，其複雜程度遠超除法。

總結

綜上所述，「算盤可以算除法嗎？」這個問題的答案是毋庸置疑的。算盤不僅能夠執行除法，更發展出了「歸除法」與「商除法」兩種精密且高效的計算體系。它們的核心原理與我們熟知的直式除法一脈相承，都是估商、減積、求餘的循環過程。

雖然在科技浪潮的衝擊下，算盤的實用功能已逐漸褪色，但其作為一種鍛鍊思維、傳承文化的工具，其價值依然不容忽視。下一次當您看到算盤時，不妨想一想，這小小的木框與算珠之間，曾承載著多麼深邃的計算智慧與數學之美。

資料來源

【教學】亞夜教你如何打算盤②：除法- lushipha的創作- 巴哈姆特

珠算乘除法- Abacus

珠算- 維基百科，自由的百科全書